כך תנצחו את המלכודת שהפילה אלפי מתמודדי שעשועונים

שעשועונים טלוויזיוניים מנסים דרכים רבות להפיל את המתמודדים בפח, כולל תשובות מבלבלות ומנחים שמיישמים שיטות לערעור הביטחון העצמי. אבל לא הרבה מנחי שעשועונים זכו להפוך למושא לחקר מצד מתמטיקאים ומדענים. היוצא מהכלל הוא מונטי הול – מנחה השעשועון הוותיק "Let's Make a Deal" (בארץ קראו לו “עשינו עסק”, בהנחיית צביקה הדר). נעזרנו ב-Claude כדי להסביר את המלכודת שבה הפיל מתמודדים, ואיך היא עובדת.

“בעיית מונטי הול" היא השם שניתן לשלב בתוכנית שבו הול הציג בפני המועמדים שלוש דלתות; מאחורי אחת מהן יש מכונית חדשה. מאחורי שתי הדלתות האחרות – עזים. על המתמודד לבחור דלת, ואם מאחורי הדלת שבחר יש מכונית – הוא זוכה בה.

אלא שזה לא הכל. לאחר הבחירה, היה הול פותח את אחת משתי הדלתות האחרות וחושף מאחוריה עז. לאחר מכן, הוא נתן למתמודד הזדמנות נוספת לבחור בין שתי הדלתות שנותרו. רוב המתמודדים האמינו שזה לא משנה, והסיכוי הוא 50/50 – אלא שלמעשה, אם המתמודד מחליף דלת, הסיכוי שלו לזכות הוא 2/3, לעומת 1/3 אם יישאר עם הבחירה המקורית.

איך זה עובד?

כשהמתמודד בוחר בדלת הראשונה, יש לו סיכוי של 1/3 לבחור במכונית. זה אומר שיש סיכוי של 2/3 שהמכונית נמצאת מאחורי אחת משתי הדלתות האחרות. המנחה יודע היכן המכונית – ותמיד יפתח דלת עם עז (אסור לו לחשוף מייד את המכונית). הוא לא משנה את ההסתברויות המקוריות, אלא רק מסיר אפשרות אחת. כשהמנחה מציע למתמודד להחליף דלת, הוא למעשה מציע לו את שתי הדלתות האחרות יחד (שהסיכוי שהמכונית מאחוריהן הוא 2/3), ופשוט מסיר את האפשרות שכעת כבר ברור שאין בה מכונית.

הדגמה

אם במקום 3 דלתות היו 100, ולאחר שהמתמודד בחר אחת, המנחה היא פותח 98 דלתות אחרות עם עזים ומדלג על דלת אחת, האם היה נראה הגיוני יותר להישאר עם הבחירה המקורית, או להחליף לדלת שעליה דילג המנחה? ברור שכדאי להחליף, כי הסיכוי שהמתמודד בחר נכון מלכתחילה הוא רק 1/100, והמנחה דילג על הדלת שדילג מיסבה טובה.

אם תחשבו מנקודת מבטו של המנחה, תבינו שברוב המקרים (2/3 מהזמן) המתמודד בוחר תחילה דלת עם עז. המנחה חייב לפתוח את הדלת השנייה עם העז. במקרים אלה, החלפת דלת תוביל לזכייה – כלומר, בשני שליש מהמקרים, המתמודד מקבל הזדמנות אמתית שכדאי לנצל.

אז למה כולם טועים?

אנשים נוטים לחשוב שכאשר נשארות שתי דלתות, ההסתברות מתאפסת ל-50/50. זוהי טעות, הנובעת מ"הטיית השוויון ההסתברותי" – הנטייה להניח שכל התוצאות המוצגות הן בעלות סיכוי שווה. אך מדובר באשליה. המידע החדש (פתיחת הדלת עם העז) לא משנה את ההסתברויות המקוריות, אלא רק מאפשר לנו לעדכן את הערכתנו לגבי המיקום הסביר של המכונית.

לסיכום, "בעיית מונטי הול" מלמדת אותנו על החשיבות של חשיבה ביקורתית, הטיות קוגניטיביות, ועל הצורך לבחון מחדש את האינטואיציות שלנו כשמדובר בהסתברויות.