כמו שבמוסיקה יש אינספור סגנונות, וחלק אחד אתה יכול לאהוב וחלק אחר לא, ככה גם במתמטיקה - יש לה פנים רבות. אין שום סיבה שתלמיד יגיד 'מתמטיקה זה לא בשבילי' רק מפני שהוא נתקל בסוג מתמטיקה שהוא לא אוהב. אדם מהרחוב לא אומר 'אני לא אוהב אלגברה' או 'אני לא אוהב גיאומטריה' - הוא אומר 'אני לא אוהב מתמטיקה', ובזה לפי דעתי אשמים בתי הספר, וחבל".
רוצים לקבל עוד עדכונים? הצטרפו לישראל היום בפייסבוק
כך מצהיר המתמטיקאי פרופ' צבי ארטשטיין בראיון שנערך עימו לרגל צאת ספר חדש שמבקש לבחון, בין השאר, כיצד האבולוציה של המין האנושי השפיעה על הדרך שבה אנחנו מבינים מתמטיקה.
בספרו החדש "הקשר המתמטי - המתמטיקה של הטבע, הטבע של המתמטיקה והזיקה לאבולוציה" שראה אור לאחרונה (הוצאת עליית הגג), סוקר ארטשטיין את התפתחותה של המתמטיקה ב־6,000 השנים האחרונות. טענתו המרכזית היא שבתקופת יוון העתיקה חלה נקודת המפנה ביחס שלנו למתמטיקה; שבר שהחל בהתפתחות הטבעית של המקצוע מעורר המחלוקת הוציא ממנו את ההיגיון הטבעי והאבולוציוני שלו. לאורך כל הספר מוצגות ההתפתחויות בדפוסי החשיבה והניתוח המתמטיים על גווניה וסוגיה השונים מתקופת ממלכות בבל, אשור ומצרים, דרך יוון העתיקה, ימי הביניים והרנסנס ועד העת החדשה וימינו אנו.
בין החידושים הקיימים בספר נמצאת ההבחנה החדה בין שני סוגים של מתמטיקה - אינטואיטיבית־אבולוציונית ומנגד מתמטיקה לא טבעית, שנוגדת את האינטואיציה והאבולוציה שלנו. בכך תולה ארטשטיין את הקושי בהוראת מתמטיקה בבתי הספר, שלדבריו נוגדת את האינטואיציה האנושית.
"4,000 שנה המתמטיקה התקדמה יפה מאוד בלי להשתמש בשיקולים לוגיים", מפרט ארטשטיין, "ואז באו היוונים ו־300 שנה לאחר מכן אמרו שצריך לעשות מתמטיקה אחרת ועיצבו אותה כפי שהיא עד לימינו; היוונים הכניסו את הלוגיקה, הציבו אקסיומות והשתמשו בדדוקציה. מכאן התפתח צורך לא לטעות ולבדוק את עצמך. כל אלה נחשבים לדברים לא אינטואיטיביים".
לדברי ארטשטיין, היכולת המתמטית קיימת באופן מולד והיא מעניקה לנו יתרון אבולוציוני - יש לנו חושים טבעיים לחיבור ולחיסור מהרגע שיצאנו לאוויר העולם ואנחנו משתמשים בהם בצורה אינטואיטיבית. לראיה מביא ארטשטיין את הפירמידות במצרים ואת המבנים בבבל העתיקה, אשר נבנו אלפי שנים לפני הספירה, על סמך עקרונות מתמטיים וחישובים טכניים גיאומטריים. "אז לא היתה שום תורה מתמטית, אלא רק מהנדסים איכותיים והשימוש במתמטיקה טכנית ופרקטית היה נהדר", הוא טוען.
עם זאת, ארטשטיין מבקש להדגיש שאין בכך כדי לזלזל בתרומה ההיסטורית הכבירה של היוונים לענף שלו הקדיש את חייו, אבל כאמור הוא מתעקש שקוראיו יכירו בכך שהיוונים הכניסו למתמטיקה אלמנטים בסיסיים שלא מתיישבים עם טבעיותה של האינטואיציה והאבולוציה.
היופי שבאי הבהירות
אז מה במתמטיקה נוגד את האבולוציה שלנו? לדברי ארטשטיין, הדרישה לדייקנות ולקפדנות מנוגדת לאינטואיציה. "אם ביומיום שלנו נתהלך בדייקנות, לא נגיע לשום מקום. זה לא אנושי לנסות לדייק בכל דבר", אומר ארטשטיין, "האבולוציה הכינה אותנו לא להיות דייקנים בכוונה, כדי להשאיר מקום לאי בהירות. האבולוציה כאילו אומרת לך - ברגע שיש לך מספיק אינפורמציה בשביל להמשיך, תמשיך. זה מנוגד לפרקטיקה המתמטית שגורסת שצריך להוכיח משפטים. להוכיח משוואות בצורה מאוד מדויקת זה בניגוד לטבע האנושי. ברגע שהשתכנענו שמשהו הוא נכון, למה לבזבז זמן על תרגילים בשביל להוכיח אותו? הרי אי אפשר להתחיל לבדוק כל דבר, כי זה יעצור את ההתפתחות האנושית בכל תחום אפשרי".
ארטשטיין מציג שלל עניינים נוספים במתמטיקה הספציפית שפותחה ביוון העתיקה שנוגדים את עקרונות האבולוציה, "השימושים במונחים מכלילים ("כולם", "לכל") או במונחי קיצון ("אינסוף") שטבעיים לאדם אינם טבעיים למתמטיקאי שנדרש לדייק לחלוטין ולהוכיח את טענותיו", הוא מסביר.
נוסף על כך, ארטשטיין מדגיש כי נטייתו של המוח האנושי היא להתרכז במה שיש ולא במה שאין. "למוח שלנו קשה לפעול לפי קונספט של משהו שאיננו, ואילו במתמטיקה כדי להוכיח טענה, נדרשים לפעול על דרך השלילה: כדי להוכיח שמשהו קיים, מניחים שהוא לא קיים ואז מציגים ממצאים סותרים לטענה זאת, מה שמאשר את עובדת קיומו של הדבר - כלומר בשיטת ההפוך על הפוך.
"אנשים חושבים אסוציאטיבית ואינדוקטיבית ומכיוון שהמתמטיקה עובדת בעיקר בצורה דדוקטיבית - ההפוכה לה - היא יוצרת קושי אצל בני אדם".
נטל ההוכחה
כפי שאפשר כבר להתרשם, לארטשטיין יש לא מעט ביקורת על אופן הוראת המתמטיקה במוסדות החינוך. מכיוון שהמקצוע נוגד את האינטואיטיביות שמצויה אצל התלמידים, הוא יוצר אצלם קושי להבין ולהתמודד עם מה שהמתמטיקה מכילה - וכך לשנוא אותה. "האבולוציה לא הכינה אותנו לחלק מהפרקטיקה המתמטית, אז למה שילדים בבתי ספר יסודי יצטרכו להתמודד איתה?" תוהה ארטשטיין. "ככה אתה מייצר התנגדות - בין שזה עם בן אדם רגיל ברחוב ובין שעם תלמידים בבית ספר. התלמיד אומר: 'המורה, השתכנעתי שהמשפט המתמטי הזה נכון, למה אתה רוצה שאוכיח לך את זה?' הרי בשום מקצוע אחר זה לא קיים.
"למשל, בתחום ההיסטוריה אתה לא צריך להוכיח שמלחמת העצמאות התרחשה ב־1948. בפיזיקה עורכים ניסיונות אבל לא ממקום של 'בוא נוכיח את מה שהמורה טוען', אלא מתוך רצון לראות את הדברים בעיניים שלך ולצורך האתגר שבביצוע ניסיונות מדעיים. במתמטיקה המורה אומר משהו ואחר כך דורש להוכיח אותו. יש בכך קונפליקט".
מובן שארטשטיין לא מואס ברעיון הלמידה וההתפתחות, אך הוא מדגיש שלמתמטיקה של היומיום אבדה החדווה הלימודית שלה. "שום מהנדס, ביולוג או פיזיקאי לא צריך לעבוד ככה, אלא רק מתמטיקאי שנדרש ליסודות של התחום".
עוד אומר ארטשטיין שמשרד החינוך, המכתיב את תוכניות הלימוד בבתי הספר, לא שם לב לכשל שקיים בדמות נטל ההוכחה המעיק, שהוא מנת חלקם של תלמידים רבים. דרך ההוראה העכשווית לא מספקת אותו. "יש דברים שאי אפשר להעביר אינטואיטיבית לתלמידים", הוא מדגיש, "המורים התרגלו להוכחה על דרך השלילה, זאת דרך לימודית קשה מאוד - מדובר בפרקטיקה של המתמטיקה אבל לא בפרקטיקה של החיים. איפה בחיים האמיתיים, כדי לשכנע שמשהו קיים, אתה מניח שהוא לא קיים ואז מוצא לכך עדות סותרת?
"באופן אינטואיטיבי, אם אני חושב שמשהו הוא נכון, אז אני בודק אם הוא נכון או לא נכון. הרי גם המורים לא ישתמשו באופן טבעי בדרך השלילה. רק בגלל שבמסגרת תפקידם כמורים למתמטיקה הם השתמשו בהוכחה על דרך השלילה - זה נראה להם טבעי. צריך לחזור ולהזכיר להם שזה לא טבעי, ושייתכן שצריך ללמד את הנושא בצורה אחרת".
לדבריו, "אנחנו פועלים לפי איך שהאבולוציה מנהלת אותנו, ואילו המתמטיקה דורשת שנעבוד פעמים רבות בניגוד לאינטואיציה. אי אפשר לתקן את ה'כשלים' שלנו, אי אפשר לפתח אינטואיציה, ובטח שלא צריך לתקן אותה. המורים מצפים שהתלמידים יבינו מתמטיקה בצורה אינטואיטיבית אבל שיטת ההוכחה באמצעות הסקה לוגית היא בדיוק ההפך מתחושה טבעית - היא טכניקה טהורה".
מוצא את הנעלם. עטיפת הספר "הקשר המתמטי" (עליית הגג)
בין המתמטיקה לחיים
הרעיון לכתיבת הספר נוצר אצל ארטשטיין לאחר שזכה בתגובות נלהבות על סידרת הרצאות שהעביר בתעשייה האווירית ובחברת הבת שלה, אלתא מערכות בע"מ. היה לו רק תנאי אחד - שיאפשרו לו לבסס דיון רחב על מתמטיקה ולסקור את התחום דרך היבטיו הפחות מתוירים - ההקשרים ההיסטוריים, האבולוציוניים וההתפתחות של המתמטיקה לצד החברה והתרבות האנושית.
תחילה המארגנים לא חשבו שיהיה ביקוש לנושאים האלה והניחו שלא יגיע קהל רב. אך ימים לפני סידרת ההרצאות, כבר היו רשימות ההמתנה מלאות למדי.
בגיל 71 ארטשטיין מלא חיים ואנרגטי, גם אחרי 38 שנה במכון ויצמן, שבמהלכן שימש גם דיקן הפקולטה למתמטיקה ומדעי המחשב וסגן נשיא להעברת טכנולוגיות. נמרצותו מתבטאת כמובן גם בהוצאת ספר ביכורים, שכתב בכמה חודשים, וכבר תורגם לאנגלית ונמכר בארה"ב.
חוזקו של הספר, מלבד נגישותו ועריכתו הנבונה של יהודה מלצר, טמון בכך שהוא לא עוסק רק במתמטיקה, אלא גם בתיאור ובסיקור יחסי הגומלין שלה עם פיזיקה, הסתברות, כלכלה, טכנולוגיה, מחשבים וגם הוראת המתמטיקה. למרות העובדה שהספר מיועד גם לאלה שנעדרים ידע מתמטי, ארטשטיין מציין כי "צריך לקרוא את הספר לאט ונדרשת בו סבלנות. לא מדובר בספר שקוראים ומסיימים בנשימה. צריך מדי פעם לעשות הפסקה ולחשוב לפני שממשיכים".
ארטשטיין מודה שהוא מאוהב במתמטיקה ואף מגלה יחס רומנטי של ממש כלפיה. "עבורי מתמטיקה היא לא אוסף נוסחאות, אלא גישה כמעט פילוסופית לעשיית סדר בדברים".
קסמו של ארטשטיין כמתמטיקאי טמון בניגוד שבין עבודתו היומיומית במחקר, שם הוא נאלץ להשתמש בכלים הלא אינטואיטיביים והלא טבעיים לנו מבחינה אבולוציונית, לבין הגישה הכללית והפדגוגית שלו כלפי המתמטיקה - ענף שכאמור צריך להיות מוגש ולהיתפס על ידי ההמון כפרקטיקה אינטואיטיבית־אבולוציונית, או אם תרצו - מתמטיקה טבעית ואנושית. "אני לא בטוח שבעולם הרוח כולם מוכרחים תמיד לדייק כל כך ולהקפיד על מה בדיוק הם מדברים", הוא אומר, "גם במתמטיקה יש מקום לתת קצת תחושה של חופש וקלילות".
בהתייחסותו לתולדות המתמטיקה, הוא מונה שלוש אבני דרך: האחת, תרומתם של היוונים לפיתוח המחקר הפילוסופי בלוגיקה ובאקסיומות. השנייה היא עבודתו של אייזק ניוטון במאה ה־17 בתחום פילוסופיית הטבע וניסוח חוקי טבע שמובעים באמצעות קשרים מתמטיים. השלישית היא תרומתו של ג'יימס קלרק מקסוול, שגילה באמצעות המתמטיקה כי יש דברים בטבע שאינך יכול לראות ולתפוס מבחינה חושית, אך הם עדיין קיימים, למשל חשמל ושדות אלקטרו־מגנטיים.
דרך גילוייו בתחום החשמל והמגנטיות הוא יצר מהפכה בקשרים בין המתמטיקה לטבע. אם ניוטון השתמש במתמטיקה כדי לתאר את הטבע שאנחנו יכולים לראות בעינינו, מקסוול קידם את התחום צעד קדימה שלב והעניק לה תכונות מופשטות.
בזווית ההיסטורית, ארטשטיין מצביע על כך ש"התרבויות ששלטו בעולם והיו המפוארות ביותר תמיד הצטיינו במתמטיקה". לדבריו, החברות שהשתמשו במתמטיקה היו גם חברות עשירות מבחינה תרבותית. "תרבויות שאימצו גם מתמטיקה לוגית ודדוקטיבית נהנו מיתרון, אבל עדיין צריך לדעת שזה לא דבר אינטואיטיבי אלא מנוגד לאבולוציה", שב וחוזר הפרופסור לאותה נקודה שבה התחלנו.
ארטשטיין חוזר ומטיל אחריות על מערכת החינוך שאחראית לכך שהרבה אנשים פוחדים ממתמטיקה ולא אוהבים אותה. "אם בתי הספר היו מלמדים מתמטיקה באופן יותר אינטואיטיבי, ומרשים לתלמידים לטעות באותו מקום שבו המורים טועים, היה יותר טוב".
לסיום, ארטשטיין רוצה להדגיש ש"אין דבר כזה חשיבה מתמטית. מתמטיקאים חושבים כמו כולם - באופן אינטואיטיבי. הם רק מנתחים בצורה שונה. הניתוח שלהם הוא מתמטי, לא החשיבה.
"דפוסי הניתוח של המתמטיקה נותרו בדיוק כשם שהיו מאז שהיוונים עיצבו אותם, אבל ההתקדמות של המתמטיקה אדירה וסוחפת".
למרות מורכבותו של התחום והעובדה שהוא לא זוכה ליחסי ציבור מלהיבים, ארטשטיין טוען שמבחינת ידע, הבנה והיקף עשייה, המתמטיקה התקדמה רבות. "אנחנו ממשיכים לגלות דברים חדשים כל הזמן, אז יש מספיק סיבות להיות אופטימי".
_0.jpg)
מתמטיקה מופשטת. ג'יימס קלרק מקסוול (מימין) ואייזק ניוטון
טעינו? נתקן! אם מצאתם טעות בכתבה, נשמח שתשתפו אותנו